חקירת מנה עם פרמטר 2חקירת פונקציות 571 · שיעור 64

חקירת פונקציות · 5 יחידות · שאלון 571

שיעור 64: חקירת מנה עם פרמטר 2

פונקציית מנה עם פרמטר

1🔷 סעיף א

2🔵 סעיף ב: חקירה (מציבים b = 2)

📄 נוסח השאלה

נתונה הפונקציה f(x) = bx²x² − 4x + 3 , b הוא פרמטר. לפונקציה f(x) יש אסימפטוטה אופקית שמשוואתה y = 2 .

א. מצא את תחום ההגדרה של הפונקציה f(x)

מציבים b = 2 : f(x) = 2x²x² − 4x + 3

ב. מצא את משוואות האסימפטוטות האנכיות של הפונקציה f(x)

🔷 סעיף א

סעיף א(1): מצא את תחום ההגדרה של הפונקציה f(x)

המכנה שונה מ־0. טרינום:

(x − 1)(x − 3) ≠ 0

✅ x ≠ 1 , x ≠ 3

🔷 סעיף א

סעיף א(2): מהו ערכו של הפרמטר b ?

החזקה הכי גבוהה במונה ובמכנה שווה ( x² ), אז האסימפטוטה היא המקדמים מחולקים:

y = b1 = b

ונתון y = 2

✅ b = 2

🔵 סעיף ב: חקירה (מציבים b = 2)

מציבים b = 2 : f(x) = 2x²x² − 4x + 3
סעיף ב(1): מצא את משוואות האסימפטוטות האנכיות של הפונקציה f(x)

ההפך מתחום ההגדרה, בתנאי שהערכים לא מאפסים את המונה: 2·1² = 2 ≠ 0 , 2·3² = 18 ≠ 0

✅ x = 1 , x = 3

🔵 סעיף ב: חקירה (מציבים b = 2)

סעיף ב(2): מצא את שיעורי נקודות החיתוך של גרף הפונקציה f(x) עם הצירים (אם יש כאלה)

x = 0 : המונה מתאפס ← y = 0

y = 0 : 2x² = 0 ← x = 0

✅ נקודת החיתוך: (0 , 0)

🔵 סעיף ב: חקירה (מציבים b = 2)

סעיף ב(3): מצא את שיעורי נקודות הקיצון של הפונקציה f(x) , וקבע את סוגן

נגזרת מנה:

f'(x) =

4x(x²−4x+3) − (2x−4)·2x²(x²−4x+3)²

משווים ל־0, מכפילים במכנה ופותחים:

4x³ − 16x² + 12x

− 4x³ + 8x² = 0

−8x² + 12x = 0

מוציאים גורם משותף:

x(−8x + 12) = 0

x = 0 או 12 = 8x ← x = 1.5

מציבים בפונקציה המקורית:

🔵 סעיף ב: חקירה (מציבים b = 2) · המשך

מציבים בפונקציה המקורית:

f(0) = 0

f(1.5) = 2·2.252.25 − 6 + 3 = −6

בטבלה גם האסימפטוטות 1 , 3 . מציבים ב־−8x² + 12x :

x = −1 ← שלילי, יורדת

x = 12 ← חיובי, עולה

x = 1.2 ← חיובי, עולה

x = 2 ← שלילי, יורדת

x = 4 ← שלילי, יורדת

✅

(0 , 0) מינימום

(1.5 , −6) מקסימום

🔵 סעיף ב: חקירה (מציבים b = 2)

סעיף ב(4): סרטט סקיצה של גרף הפונקציה f(x)

מסמנים את האסימפטוטות x = 1 , x = 3 , y = 2

משמאל ל־1: מינימום ב־(0 , 0) : הגרף יורד מכיוון y = 2 עד (0 , 0) , ואז עולה לאורך x = 1

בין 1 ל־3: מקסימום ב־(1.5 , −6) : הגרף עולה מלמטה ואז יורד, ושני הצדדים נצמדים לאסימפטוטות האנכיות

מימין ל־3: לפי הטבלה הפונקציה יורדת, ואין שם חיתוך עם ציר x: הגרף יורד מלמעלה ונצמד ל־y = 2

📌 לזכור

💡 אסימפטוטה אנכית חזקה יותר מאופקית: ליד אסימפטוטה אנכית הגרף תמיד נצמד אליה, ואת האסימפטוטה האופקית מותר לחתוך.

→ / רווח / לחיצה = הבא · ← = אחורה · F = מסך מלא